Dê um exemplo de uma função tal que em dois pontos distintos , a função tenha sinais contrários, f não é contínua no intervalo e
a tese do Teorema do Valor Intermediário é verdadeira.
a tese do Teorema do Valor Intermediário é falsa.
Passo 1
Em primeiro lugar, lembraremos o que o Teorema do Valor Intermediário fala. Em resumo, temos que para todos os valores de uma função entre e , um valor correspondente vai estar entre e , ou seja, E é através desse valor intermediário , que vamos saber se a tese do TVI é verdadeira ou falsa.
É bom dizer que essa questão tem uma série de resultados possíveis, aqui vamos apresentar apenas um deles.
Passo 2
- Aqui procuramos uma função que não seja contínua, vamos criar uma qualquer,
Repara, a função tem duas descontinuidades uma em e outra em .
Agora precisamos de dois pontos () que tenham sinais contrários. Podemos adotar , pois nesse intervalo nós temos as descontinuidades em e .
Como estamos dizendo que a função não é continua, vamos ver se os limites laterais batem com as funções em e :
Bom, tendo duas descontinuidades, não teríamos qualquer entre e aparecendo. Contudo, repara que o limite para aparece em e o de em .
Com isso, cobrimos todos os possíveis valores entre
Passo 3
Agora a gente quer uma função onde o TVI seja falso. Então vamos mudar a função do item para que ela seja valida. Para isso basta a gente retirar um dos valores entre e que a função assume, ou seja:
Nesse caso a descontinuidade está em e para o mesmo intervalo , não teríamos nenhum ponto , onde , pois
Assim, vemos que a função não comprovará a tese do TVI, de cobrir todos os ’s possíveis entre e
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)