UFRJ – Cálculo 1 – Lista 2 – Questão 6
Se e são números positivos, prove que a equação abaixo possui no mínimo uma solução no intervalo (-1, 1)
Passo 1
E aí, galerinha! Nesse exercício queremos provar que a equação dada possui pelo menos uma solução (raiz) em um dado intervalo. Beleza, quando isso é pedido a gente pode usar o teorema do valor médio, que diz que se você substituir o valor de x pelos valores extremos do intervalo dado, e obtiver um resultado positivo e outro negativo, você tem pelo menos uma solução ou raiz nesse intervalo. Para isso vamos aplicar na equação um limite de tendendo ao intervalo e depois que vamos utilizar o teorema do valor intermediário.
Passo 2
Substituindo o valor do limite em ambos os lados, temos que
Aplicando agora
Temos que
Olha que maravilha, em um temos , logo certamente teremos uma raiz entre esse intervalo dado.
Resposta
, logo certamente teremos uma raiz entre esse intervalo dado.
Logo, como temos um valor maior que zero e outro menor que zero, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo dado.