Se a e b são números positivos, prove que a equação abaixo possui no mínimo uma solução no intervalo (-1, 1)

a x 3 + 2 x 2 - 1 + b x 3 + x - 2 = 0

Passo 1

E aí, galerinha! Nesse exercício queremos provar que a equação dada possui pelo menos uma solução (raiz) em um dado intervalo. Beleza, quando isso é pedido a gente pode usar o teorema do valor médio, que diz que se você substituir o valor de x pelos valores extremos do intervalo dado, e obtiver um resultado positivo e outro negativo, você tem pelo menos uma solução ou raiz nesse intervalo. Para isso vamos aplicar na equação um limite de x tendendo ao intervalo e depois que vamos utilizar o teorema do valor intermediário.

Passo 2

a x 3 + 2 x 2 - 1 + b x 3 + x - 2 = 0

a x 3 + 2 x 2 - 1 = - b x 3 + x - 2

lim x → - 1 ⁡ a x 3 + 2 x 2 - 1 = lim x → - 1 ⁡ - b x 3 + x - 2

Substituindo o valor do limite em ambos os lados, temos que f x = b = ∞

Aplicando agora lim x → 1 ⁡ f ( x )

lim x → ∓ 1 ⁡ a x 3 + 2 x 2 - 1 = lim x → + 1 ⁡ - b x 3 + x - 2

Temos que f x = a = - ∞

Olha que maravilha, em um temos - ∞ < 0 < ∞ , logo certamente teremos uma raiz entre esse intervalo dado.

Resposta

- ∞ < 0 < ∞ , logo certamente teremos uma raiz entre esse intervalo dado.

Logo, como temos um valor maior que zero e outro menor que zero, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo dado.

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