USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17c
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(c) , para todos , com e .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função cont��nua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
Como e , então
Se chamarmos , podemos encontrar a função como
Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que a derivada de é
Pelo TVM, temos
Assim, se , então
Como e são maiores ou iguais a , para fazer parte do valor médio, ele deva ser também! Portanto, a inequaç��o é válida!
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
