UNICAMP – Cálculo 1 – Lista 1 – Questão 6.23
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
Tem pelo menos uma raiz no intervalo
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa falando do Teorema do Valor Intermediário, você lembra dele?
Esse teorema garante que dada uma função contínua definida em um intervalo e se é um número compreendido entre e , então existirá um elemento que pertence ao intervalo tal que
Nossa função
É contínua pois temos um polinômio com seno, ou seja, tudo bem comportado! Então podemos aplicar nosso teorema!
Queremos saber se dentro do intervalo a função apresenta uma raiz. Mas o que significa ter raiz? É o que retorna zero na função!
Então precisamos garantir que a imagem dos extremos dos intervalos forneça um intervalo em que o seja um elemento! Se isso estiver correto, então garantimos que existe um que dê
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nosso intervalo é
Assim, em
E em
Beleza?
Assim temos que o intervalo das imagens é
E o está dentro desse intervalo!
Passo 3
Como o elemento está dentro do conjunto das imagens obtidas, garantimos que existe pelo menos um do domínio que
Não sabemos qual é esse , mas sabemos que ele existe!
Então existe algum xizinho que aí no meio dá zero, já que temos uma função contínua (que não se tira o lápis do papel para desenhar)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!