Use o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a equaç ao

2 cos(x) = 4x - 1

tem uma solução no intervalo (0, pi/4)

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é mostrar que

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

tem uma solução no intervalo ( 0 , π / 4 ) . E temos que fazer isso usando o TVI

Mas o que diz esse teorema mesmo? De forma bem simples ele diz o seguinte. Se f é uma função contínua e se a < b onde f ( a ) < 0   e   f ( b ) > 0 então tem pelo menos um carinha a < x < b tal que

f ( x ) = 0

Passo 2

Bem, vamos olhar a nossa equação

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

⇒ 2   c o s ( x )   - 4 x   +   1 = 0

Vamos pensar na função

g ( x ) = 2   c o s ( x )   - 4 x   +   1

Essa função é contínua em ( 0 , π / 4 ) . (Temos soma de coisas contínuas)

Vamos calcular o valor da g em x = 0 e em x = π / 4

g ( 0 ) = 2   c o s ( 0 )   - 4 * 0   +   1

= 3

E temos que

g ( π / 4 ) = 2   c o s ( π / 4 )   - 4 * π / 4   +   1

= 2 - π + 1

Mas esse valor é negativo. Ou seja, pelo TVI, existe um 0 < x ' < π / 4 tal que

g ( x ' ) = 0

Passo 3

Chegamos a conclusão que pelo TVI, existem um 0 < x ' < π / 4 tal que

g ( x ' ) = 0

Pela definição da nossa g , isso implica em

2   c o s ( x ' )   - 4 x '   +   1 = 0

Logo

2   c o s ( x ' ) = 4 x '   - 1  

Ou seja, existe uma solução para a equação

2   c o s ( x )   =   4 x   −   1

no intervalo ( 0 , π / 4 ) .

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

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