3. Uma função f : R → R satisfaz as seguintes propriedades:

  • f 2 = 0
  • lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 1
  • lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞ e lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = + ∞
  • lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1
  • f é estritamente crescente em 0,2 e ( 2 , + ∞ )
  • f é uma função par

d. Supondo que f seja contínua no intervalo 2 , ∞ , ela teria alguma raiz nesse intervalo? Justifique.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o enunciado pede para a gente supor que a função é continua e dizer se ela possui raiz no intervalo 2 , ∞ . Em outras palavras, o que precisamos verificar é se a função corta o eixo x neste intervalo. Para fazer isso, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário usando as informações que nos foi dada.

Bora analisar a função!

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a seguinte informação

lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = - ∞

Ela nos diz que a função assume valores negativos quando se aproxima de 2 dentro do intervalo ( 2 , + ∞ ) .

Agora vamos olhar para quando x → + ∞ , que é a outra a ponta do intervalo:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1

Aqui vemos que a função assume um valor positivo quando x assume valores muito grande.

Opaaaa, para a função ir de um número negativo para positivo, ela precisa cortar o eixo x . Ou seja, ela possui uma raiz no intervalo ( 2 , + ∞ ) .

Resposta

Sim, pelo Teorema do Valor Intermediário, podemos afirmar que existe raiz no intervalo 2 , + ∞ .

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