7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(a) s e n b - s e n a ≤ b - a , para todos a , b ∈ R .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que provar que a inequação s e n b - s e n a ≤ b - a é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por s e n b - s e n a ≤ b - a , então se passarmos o termo b - a dividindo, temos

s e n b - s e n a b - a ≤ 1

Como a b = a b , então podemos manipular um pouquinho a equação

s e n b - s e n a b - a ≤ 1

- 1 ≤ s e n b - s e n a b - a ≤ 1

Já se fizermos b = x , vamos obter que f x = s e n x

E pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de s e n x é cos ⁡ x ...

f ' x = cos ⁡ x

Por fim, se pelo teorema do valor médio, temos

f ' c = f b - f a b - a

E f ' x = cos ⁡ x , então f c = cos ⁡ c

Substituindo na inequação...

- 1 ≤ s e n b - s e n a b - a ≤ 1

- 1 ≤ f ' c ≤ 1

- 1 ≤ cos ⁡ c ≤ 1

Portanto, essa inequação é válida, logo conseguimos provar que s e n b - s e n a ≤ b - a é válida também!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

- 1 ≤ cos ⁡ c ≤ 1

Exercícios de Livros Relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |