USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17a
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(a) , para todos .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
Como , então podemos manipular um pouquinho a equação
Já se fizermos , vamos obter que
E pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é ...
Por fim, se pelo teorema do valor médio, temos
E , então
Substituindo na inequação...
Portanto, essa inequação é válida, logo conseguimos provar que é válida também!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
