Seja , onde e são dados. Calcule os limites no infinito e, em seguida, use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que possui pelo menos uma raiz. O que se pode dizer se ?
Passo 1
Fala pessoal, tudo tranquilo?? Seguinte, nós vamos estudar um polinômio tendendo ao infinito (e além kkk, desculpa) e relembrar sobre o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Assim como limites de funções racionais tendendo ao infinito, que nada mais são que polinômios sendo divididos um pelo outro, temos que nos polinômios tendendo ao infinito só nos interessará o termo de grau maior, ou seja:
= ∞
-∞
Passo 2
Como nossa função é contínua -afinal, ela é polinomial- e vai de menos a mais infinito, podemos afirmar pelo Teorema do Valor Intermediário que existem valores tal que .
Passo 3
Para
=
Ainda seria válido o TVI, portanto há como confirmar que existe no mínimo uma raiz para a função.
E é isso pessoal 😉
Resposta
Os limites são e , respectivamente. Deste modo, podemos obter tais que . O TVI implica que deve se anular em algum ponto do intervalo . O mesmo pode ser dito para .