UFES, 2018.1, Lista 5, Q27
27) Mostre que os gráficos de e têm intersecção em pelo menos um ponto do intervalo .
Passo 1
Faaaala pessoal!!
Questão bem interessante, com uma aplicação legal do teorema do valor intermediário.
Basicamente, ela pede pra gente provar que a reta e a curva possuem um ponto em comum, ou seja, se cruzam.
Mas, tem outra forma de visualizar o mesmo problema. Vamos definir duas funções, e . Outra forma de enunciar esse exercício, é dizer que queremos provar que para pelo menos um valor de .
Então, bora usar uma sacada bem legal, vamos criar uma função:
.
Agora, pra provar que e se intersectam em basta mostrarmos que em pelo menos um ponto desse mesmo intervalo.
Passo 2
Po, mas se queremos mostrar que em pelo menos um ponto do intervalo , temos que usar justamente o teorema do valor intermediário! Ele diz o seguinte:
Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.
Massa! Seguido esse raciocínio, vamos escolher dois pontos de e testar o valor de .
Como o intervalo é aberto em , precisamos calcular o . Daí:
Pois quando .
Analogamente:
Pois quando .
Ou seja, no intervalo considerado temos valores de que resultam em e valores que resultam em . Como a função que definimos é contínua nesse intervalo, pelo teorema do valor intermediário, existem pontos tais que .
E se , então e assim conseguimos provar que existe pelo menos um ponto de intersecção entre e .
Resposta
No texto.