Sejam f , g : R → R tais que s e n   x ≤ f x ≤ 3 | x | e 0 ≤ g x ≤ 1 + | s e n x | , para todo x ∈ R . Calcule lim x → 0 ⁡ f x g x + c o s ⁡ ( x )

Passo 1

E aí gente, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ f x g x + c o s ⁡ ( x )

Mas, não conhecemos a lei de formação de f ( x ) ou de g ( x ) . Sabemos apenas que:

s e n   x ≤ f x ≤ 3 | x |

E que:

0 ≤ g x ≤ 1 + | s e n x |

Ou seja, sabemos que f e g são limitadas.

E aí, como podemos resolver o limite pedido?

Bom, pra começar, tem algumas propriedades interessantes de limites que podemos usar aqui, como o limite da soma e o limite do produto. Segundo elas, se o limite de p ( x ) e q ( x ) existem, então:

lim x → a ⁡ p x + q x = lim x → a ⁡ p x + lim x → a ⁡ q x

E:

lim x → a ⁡ p x ⋅ q x = lim x → a ⁡ p x ⋅ lim x → a ⁡ q x

Depois de separar os limites, podemos calculá-los individualmente usando o teorema do sanduíche. Que basicamente diz que:

Se sabemos que uma função f está sempre limitada entre duas outras:

g ≤ f ≤ h

Então, também podemos afirmar que:

lim x → a ⁡ g ≤ lim x → a ⁡ f ≤ lim x → a ⁡ h  

Tranquilo? Então vamo nessa!

Passo 2

Bom, usando a propriedade do limite da soma e do limite do produto, chegamos que:

lim x → 0 ⁡ f x g x + c o s ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ f ( x ) ⋅ lim x → 0 ⁡ g x + lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

Massa!

Daí, agora só precisamos calcular cada um desses limites individualmente.

Começando por f ( x ) , temos:

s e n   x ≤ f x ≤ 3 | x |

Então, pelo teorema do sanduíche, se aplicarmos o limite, teremos:

lim x → 0 ⁡ s e n   x ≤ lim x → 0 ⁡ f x ≤ lim x → 0 ⁡ 3 x

Como:

lim x → 0 ⁡ s e n   x = 0

E:

lim x → 0 ⁡ 3 x = 0

Vem que:

lim x → 0 ⁡ f x = 0

Perfeito!

Analisando g ( x ) , temos também:

0 ≤ g x ≤ 1 + s e n x

Aplicando o limite:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ g x ≤ lim x → 0 ⁡ 1 + s e n x

Como:

lim x → 0 ⁡ 1 + s e n x = 1

Temos que:

0 ≤ lim x → 0 ⁡ g x ≤ 1

Passo 3

Vamos agora substituir esses resultados no limite que estamos calculando:

lim x → 0 ⁡ f x ⋅ lim x → 0 ⁡ g x + lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x

= 0 ⋅ lim x → 0 ⁡ g x + c o s ⁡ ( 0 )

Como o limite de g ( x ) é limitado entre 0 e 1 , o produto dado acima é nulo.

Logo:

lim x → 0 ⁡ f x g x + cos ⁡ x = cos ⁡ 0

= 1

Prontinho!!

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Resposta

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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln ⁡ x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |