USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 1.13
Sejam tais que e , para todo . Calcule
Passo 1
E aí gente, como vocês estão?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
Mas, não conhecemos a lei de formação de ou de . Sabemos apenas que:
E que:
Ou seja, sabemos que e são limitadas.
E aí, como podemos resolver o limite pedido?
Bom, pra começar, tem algumas propriedades interessantes de limites que podemos usar aqui, como o limite da soma e o limite do produto. Segundo elas, se o limite de e existem, então:
E:
Depois de separar os limites, podemos calculá-los individualmente usando o teorema do sanduíche. Que basicamente diz que:
Se sabemos que uma função está sempre limitada entre duas outras:
Então, também podemos afirmar que:
Tranquilo? Então vamo nessa!
Passo 2
Bom, usando a propriedade do limite da soma e do limite do produto, chegamos que:
Massa!
Daí, agora só precisamos calcular cada um desses limites individualmente.
Começando por , temos:
Então, pelo teorema do sanduíche, se aplicarmos o limite, teremos:
Como:
E:
Vem que:
Perfeito!
Analisando , temos também:
Aplicando o limite:
Como:
Temos que:
Passo 3
Vamos agora substituir esses resultados no limite que estamos calculando:
Como o limite de é limitado entre e , o produto dado acima é nulo.
Logo:
Prontinho!!
Curtiram a solução? Responde Aí!