UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 30.
Se uma função muda de sinal quando varia de um ponto para o ponto , existirá obrigatoriamente um ponto entre e onde a função f se anula? Justifique sua resposta.
Passo 1
Essa pergunta passa pela base do TVI, Teorema do Valor Inicial.
Ele diz que, para contínua no intervalo , se a função muda de sinal nesse intervalo então terá obrigatoriamente no mínimo uma raiz, ou seja, um ponto onde a função se anula.
Acontece que o problema está na condição inicial: a função precisa ser contínua para valer isso. No enunciado, não se especifica se essa é contínua ou não.
Portanto, nas condições do enunciado, é falso dizer que obrigatoriamente haverá um ponto nesse intervalo em que a se anula.
Resposta
Não, não necessariamente existirá esse ponto.
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Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado f x = x 3 = 1 - x ,( 0 ,1 )
( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua ferramenta gráfica para encontrar a raiz correta até a terceira casa decimal. f x = a r c t gx + 1 - x
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado ln x = e - x , ( 1,2 )
Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im f = f x |