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Exercícios Resolvidos de Teorema do Valor Intermediário

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Limites e Continuidade, Questão 6.20b

Seja a função

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação f ( x )   =   4 admite

ao menos três soluções reais.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Queremos

mostrar que a equação f ( x )   =   4 admite ao menos três soluções reais. Onde

f ( x ) = x 3 - 1 x + x 4

Vamos nessa

Passo 2

Bem, precisamos usar o TVI para verificar que a equação

f ( x )   =   4

Admite três soluções reais.

Mas o que diz esse teorema mesmo? De forma bem simples ele diz o seguinte. Se f é uma função contínua e se a < b onde f ( a ) < 0   e   f ( b ) > 0 então tem pelo menos um carinha a < x < b tal que

f ( x ) = 0

Então, vamos definir a seguinte função

g ( x ) = f ( x ) - 4

= x 3 - 1 x + x 4 - 4

O que queremos encontrar? Queremos 3 intervalos onde a g é contínua e ela assume pelo menos um valor negativo e positivo nesse intervalo. Como encontramos esses intervalos? No chute mesmo.

Vamos começar com o intervalo

[ 1,2 ]

Nesse intervalo, a função é contínua e temos que

g ( 1 ) < 0

g ( 2 ) > 0

Logo o TVI garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos verificar o seguinte intervalo [ - 1 / 2 , - 0.1 ]

g ( - 1 / 2 ) < 0

g ( - 0.1 ) > 0

Logo o TVI garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

E o último intervalo é

[ - 0.9 , - 1 / 2 ]

g ( - 1 / 2 ) < 0

g ( - 0.9 ) > 0

Logo o TVI garante a existência de pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Esses intervalos foram propostos pois estão entre as duas assíntotas verticais dessa função. E esse parece ser um bom lugar para olhar

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

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Se f x = x 2 + 10 s e n x , mostre que existe um número c tal que f c = 1000
Seja f : a , b → R uma função contínua e suponha que f não seja constante em a , b . Prove que existem números reais m e M , com mM , tais que Im ⁡ f = m , M .(Observação: Imagem de f = Im ⁡ f = f x |