USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17d
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(d) , para todos , com .
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
Assim, podemos descobrir a função substituindo e no numerador
Aplicando a regra do expoente...
E pela regra da cadeia, a derivada de será
Porém, o termo consiste no produto de duas funções de , então para a sua derivada, aplicamos a regra do produto
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Pelo teorema fundamental do cálculo e pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo em
Voltando para ...
Substituindo por e aplicando no TVM
Portanto...
Assim, se e , pelo TVM, tem que ser .
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
