Para que valores de k a equação 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x = k tem três soluções reais distintas?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar k para que a função 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x = k tenha três soluções reais distintas.

Mas como podemos fazer isso?

Bom.. para isso, precisamos derivar a função e usar o Teorema do Valor Intermediário.

Então, para prosseguir, vamos dizer que:

f x = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x - k

Vamo lá??? 😉

Passo 2

Bom... primeiro vamos ter que achar f ' x , assim, fazendo a derivada, temos:

f ' x = 6 x 2 - 18 x + 12

Agora, vamos fazer f ' x = 0 para analisarmos a função:

6 x 2 - 18 x + 12 = 0

Sabemos que essa função quadrática possui duas raízes:

x = 2

x = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal das duas expressões:

f 2 = 2 2 3 - 9 2 2 + 12 2 - k ∴

f 2 = 4 - k

E, por outro lado:

f 1 = 2 1 3 - 9 1 2 + 12 1 - k ∴

f 1 = 5 - k

Passo 4

Temos, pelo Teorema do Valor Intermediário que se f é contínua sobre o intervalo fechado a , b e L é um número real tal que f a < L < f b ou f b < L < f a então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que f c = L . Logo:

4 - k < 0 ∴

k > 4

E

5 - k > 0 ∴

k < 5

Em outras palavras, temos:

4 < k < 5

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

4 < k < 5

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