7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:

(e) (ln(b) / b) - (ln(a) / a) ≤ (b - a) / (a^2) , para todos a, b ∈ R , com 1 ≤ a < b ≤ e .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que provar que a inequação ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ b - a a 2 é verdadeira a partir do teorema do valor médio.

Como vamos fazer isso? 🤔

Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua f x é diferenciável em um intervalo fechado a , b , então existe pelo menos um ponto c em a , b tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto c é igual à taxa de variação média da função no intervalo a , b .

Sacou? Bora começar! 😊

Passo 2

Se a inequação é dada por ln ⁡ b b - ln ⁡ a a ≤ b - a a 2 , então se passarmos o termo b - a dividindo, temos

ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a ≤ 1 a 2

Comparando ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a com a equação de f ' c , temos que

f b = ln ⁡ b b

Substituindo b por x

f x = ln ⁡ x x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de f x é dada por

f ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

Fazendo x = c ...

f ' c = 1 - ln ⁡ c c 2

Substituindo no TVM

f ' c = 1 - ln ⁡ c c 2 = ln ⁡ b b - ln ⁡ a a b - a

1 - ln ⁡ c c 2 ≤ 1 a 2

Assim, se c está entre a e b e 1 ≤ a < b ≤ e , então 1 < c < e .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

1 - ln ⁡ c c 2 ≤ 1 a 2 ,     1 < c < e

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