USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.17e
7.17. Use o TVM para provar as seguintes desigualdades:
(e) , para todos , com .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nesse problema, temos que provar que a inequação é verdadeira a partir do teorema do valor médio.
Como vamos fazer isso? 🤔
Formalmente, o teorema afirma que se uma função contínua é diferenciável em um intervalo fechado , então existe pelo menos um ponto em tal que:
Essa igualdade significa que a taxa de variação instantânea da função em algum ponto é igual à taxa de variação média da função no intervalo .
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
Se a inequação é dada por , então se passarmos o termo dividindo, temos
Comparando com a equação de , temos que
Substituindo por
Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de é dada por
Fazendo ...
Substituindo no TVM
Assim, se está entre e e , então .
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
