UFES, 2018.1, Lista 5, Q25
25) Determine um intervalo de amplitude 1, no qual está localizado pelo menos um zero dessa função.
Passo 1
Faaala pessoal!
Esse exercício pede, basicamente, pra gente encontrar um intervalo de amplitude 1 em , no qual possamos garantir que exista uma raiz de . Poderíamos pensar em resolver a equação, o problema é que é um polinômio de grau 3, a solução é meio complicadinha.
Tem um jeito mais simples, como só queremos um intervalo podemos usar o teorema do valor intermediário. Ele diz o seguinte:
Se uma função contínua troca de sinal num certo intervalo, então ela tem ao menos uma raiz nesse intervalo.
Beleza, bora pras contas!
Passo 2
A ideia aqui é bem tranquila, vamos chutar um valor de e ver se vai dar um número maior, menor ou igual a zero. O bizu é escolher um valor que seja bem fácil de calcular o valor da função, então vou começar por zero 😊
Beleza, . Então pra aplicar o teorema do valor intermediário precisamos encontrar um , tal que . Mas, pela restrição do enunciado, também queremos ter um intervalo de amplitude igual a . Então, vamos chutar .
Puts, foi quase, também. Mas tranquilo, só precisamos procurar mais um pouco. Como vimos que por pouco não era maior do que zero, bora chutar .
Opa, .
Então, se a gente pegar o intervalo em , pelo teorema do valor intermediário, com certeza vai haver ao menos uma raiz de .
Prontinho 😊