Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.
Passo 1
Por cascas cilíndricas, primeiro definimos funções de :; . Para achar os limites de integração, igualamos:
Essa equação de cara é meio chata de resolver, mas é possível usar umas malandragens. Por exemplo, podemos tentar colocar nos dois lado da equação. Fazendo:
Então é solução da equação!
Outra rataria é perceber que tem de um lado e um do outro, assim podemos testar pra ficar dos dois lados, desse jeito:
também é solução da equação.
Então nossos limites de integração são e . Nossa integral fica:
Passo 2
Por anéis circulares, as curvas estão dadas de bandeja, a dificuldade é achar os limites de integração. Para isso, temos que igualar as funções:
Essa equação de cara é meio chata de resolver, mas é possível usar umas malandragens. Por exemplo, podemos tentar zerar os dois lado da equação. Fazendo:
Então é solução da equação!
Outra malandragem: olhando do lado direito temos sendo dividido por . Parece tentador testar , assim:
Além disso,
Então nossos limites de integração são e . Nossa integral fica:
Passo 3
Para encontrar o volume, basta resolver uma dessas integrais, já que elas representam a mesma quantidade.
Nesse caso, vamos ter que fazer uma integração por partes. Lembra da fórmula?
Chamando e
Substituindo na expressão ali cima: