Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

b) y = x^(2/3); x = 1; y = 0, em torno do eixo y .

Passo 1

Oi galerinha, tudo bom?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = x 2 3 x = 1 x = 0   ( e i x o   y ) y = 0

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo y . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo y , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A y d y

onde A ( y ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

A curva preta é justamente a reta:

y = x 2 3

⇒ x = y 3 2

Que limita a nossa região inferiormente (vamos rotacionar em relação ao eixo y ).

Já a reta vermelha é a reta:

x = 1

Que limita a região superiormente.

Assim, a área da seção transversal rotacionada em torno do eixo y , vale:

A y = π ⋅ 1 2 - y 3 2 2  

A y = π ⋅ 1 - y 3

Daí, substituindo na integral:

V = ∫ 0 1 π ⋅ 1 - y 3 d y

Muito bom!

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:

V = ∫ 0 1 π ⋅ 1 - y 3 d y

= π ⋅ y - y 4 4 0 1

= π ⋅ 1 - 1 4

Logo:

V = 3 π 4

Prontinho gente, obrigado pela atenção 😊

Resposta

3 π 4

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