Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

b )   y = x 2 3 ; x = 1 ; y = 0 , em torno do eixo y .

Passo 1

Oi galerinha, tudo bom?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = x 2 3 x = 1 x = 0   ( e i x o   y ) y = 0

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo y . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo y , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A y d y

onde A ( y ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada:

A curva preta é justamente a reta:

y = x 2 3

⇒ x = y 3 2

Que limita a nossa região inferiormente (vamos rotacionar em relação ao eixo y ).

Já a reta vermelha é a reta:

x = 1

Que limita a região superiormente.

Assim, a área da seção transversal rotacionada em torno do eixo y , vale:

A y = π ⋅ 1 2 - y 3 2 2  

A y = π ⋅ 1 - y 3

Daí, substituindo na integral:

V = ∫ 0 1 π ⋅ 1 - y 3 d y

Muito bom!

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:

V = ∫ 0 1 π ⋅ 1 - y 3 d y

= π ⋅ y - y 4 4 0 1

= π ⋅ 1 - 1 4

Logo:

V = 3 π 4

Prontinho gente, obrigado pela atenção 😊

Resposta

3 π 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .