3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas:

(d) y = raiz(cos(x)) , 0 ≤ x ≤ pi/2 , y = 0 , x = 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, temos que obter o volume do solido que é gerado ao rotacionar a região limitada pelas curvas y = cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π / 2 , y = 0 e x = 0 , ao redor do eixo x .

Primeiro temos que analisar como é dado a região que vamos revolucionar!

Plotando as curvas e hachurando a área entre elas, temos

Consegue imaginar como será o sólido ao rotacionar essa área ao redor do eixo x ? Seria algo parecido com uma bola oval cortada ao meio 👀

E como podemos calcular o volume desse sólido? 🤔

Pra isso, podemos usar o método dos discos, sabe como funciona? 😁

Passo 2

Esse método consiste em dividir o sólido em infinitos discos de alturas infinitesimais, como se fatiássemos o sólido perpendicularmente ao eixo x .

O volume de um disco é dado por

V = π r 2 h

Onde r é o raio do disco e h é a altura.

Podemos dizer que o raio do disco é dado pela distância de y = 0 até y = cos ⁡ x , ou seja, r = cos ⁡ x , já h é uma altura infinitesimal que vamos chamar de d x .

Fazendo essas substituições na equação, temos que cada volume infinitesimal d V será dado por

d V = π cos ⁡ x 2 d x

Integrando os dois lados, temos

∫ d V = ∫ π cos ⁡ x 2 d x

V = ∫ π cos ⁡ x d x

Estamos interessados apenas na região que está entre x = 0 e x = π / 2 , então aplicamos esses valores nos limites de integração de V

V = ∫ 0 π / 2 π cos ⁡ x d x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Como π é uma constante, podemos tirá-la para fora da integral

V = π ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ x é dada por s e n x . Não podemos calcular a integral de cos ⁡ x pelos métodos convencionais, então apelamos para o teorema.

∫ cos ⁡ x d x = s e n x

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x = s e n π 2 - s e n 0 = 1 - 0

∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x = 1

Substituindo em V , temos

V = π ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x

V = π 1

V = π

Portanto, o volume do solido formado pela revolução da área que tínhamos obtido é dada por π ! Legal, né? 😁

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

V = π

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