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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Questão 3: Seja

f x = x 2 4                     ,       s e       0 ≤ x ≤ 2 ,   1 x - 1               ,       s e       x > 2 .                

  1. Esboce a região R do plano compreendida pelo gráfico de f x e o O x .
  2. Encontre o volume do sólido obtido pela revolução de R em torno do eixo O x .

(Use uma integral imprópria adequada!)

Passo 1

a )

Para desenhar essa função f x , vamos começar desenhando a primeira parte da função que é

f x = x 2 4

Essa função tem a cara de uma parábola...

Epa! Mas a função f delimita essa parábola em x = 0 e x = 2 ...

Quando x = 2 então f 2 = 2 2 / 4 = 1 , percebeu?

Passo 2

Agora desenhamos a segunda parte da função...

f x = 1 x - 1

O desenho dessa função é semelhante ao de 1 / x ...

Só que essa hipérbole está desloda inteiramente para direita de uma unidade pois 1 / ( x - 1 ) sacou? Do mesmo jeito que anteriormente a função f delimita a curva em x = 2 pra lá.

Perceba que aqui também f 2 = 1 2 - 1 = 1 , então quando colocarmos essas duas partes do gráfico de f em um único plano, vamos obter...

Esse é justamente o gráfico de f x ;D

Passo 3

Mas você vai me questionar: “uai, mas não é isso que a gente quer no item do problema. Queremos a região que vai da função até o eixo O x ”.

E você está commpllletamente certo! Essa região é essa daqui oh...

Prontinho ;)

Passo 4

b )

Quando giramos essa região R ao redor do eixo x   vamos obter um sólido de revolução só que no infinito, saca? O problema nos pede o volume dele. Ora, se ele tem volume, então a integral que vamos calcular que tem os limites lá no infinito (uma integral de volume imprópria) vai convergir.

Mas que integral é essa? Ora! Para o cálculo de um volume de uma região que gira em torno de x é melhor calcularmos pelos métodos dos discos...

V = ∫ a b π f x 2 d x

Onde a e b são os limites do sólido em x , ou seja, a é onde começa, no 0 , e b onde “termina”, no infinito positivo nesse caso...

V = ∫ 0 + ∞ π f x 2 d x

Bem, mas repare que a função f tem definições diferentes...

f x = x 2 4                     ,       s e       0 ≤ x ≤ 2 ,   1 x - 1               ,       s e       x > 2 .                

Então de 0 até 2 , consideremos uma função de 2 até o infinito outra. O volume total vai ser a soma das duas...

V = ∫ 0 + ∞ π f x 2 d x =

∫ 0 2 π x 2 4 2 d x + ∫ 2 + ∞ π 1 x - 1 2 d x

Bora calcular essas duas integrais?

Passo 5

Vamos começar com a mais fácil aqui...

∫ 0 2 π x 2 4 2 d x = ∫ 0 2 π x 4 16 d x =

π 16 ∫ 0 2 x 4 d x

Integrando esse polinômio...

π 16 ∫ 0 2 x 4 d x = π 16 x 5 5 0 2 =

π 16 2 5 5 =

2 π 5

Passo 6

Quanto à outra... A imprópria...

∫ 2 + ∞ π 1 x - 1 2 d x

Essa integral é pela definição, é um limite...

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 2 t π 1 x - 1 2 d x

A integral

π ∫ 2 t 1 x - 1 2 d x

Podemos calcular:

π ∫ 2 t 1 x - 1 2   d x =

π - 1 x - 1 2 t =

Substituindo os limites de integração...

π - 1 t - 1 - - 1 2 - 1 = π 1 - 1 t - 1

Passo 7

Aplicando o limite no resultado da integral...

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 2 t π 1 x - 1 2 d x = lim t → + ∞ ⁡ π 1 - 1 t - 1 =

Ora, por propriedades de limites...

lim t → + ∞ ⁡ π - lim t → + ∞ ⁡ π t - 1 =

O primeiro limite é uma constante e quando x vai ao infinito ele não se altera, portanto...

π - lim t → + ∞ ⁡ π t - 1 =

Já esse outro...

π - lim t → + ∞ ⁡ π t - 1 = π - 0

Logo...

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 2 t π 1 x - 1 2 d x = π

Passo 8

Como vimos o volume é a soma das duas integrais que calculamos...

V = ∫ 0 2 π x 2 4 2 d x + ∫ 2 + ∞ π 1 x - 1 2 d x

V = 2 π 5 + π

V = 7 π 5

Resposta

a)

b) 7 π 5

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .