Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas 2y = x + 4 , y = x e x = 0 , em torno:

d) da reta y = 8 , usando o método do anel.

Passo 1

Saaalve galerinha, animam destruir essa questão comigo?

O enunciado nos diz que há uma região criada pelo limite das seguintes retas:

2 y   =   x   +   4 , y   =   x , x   =   0

Podemos plotar o gráfico e perceber a região amarela foi formada. Olha só!

A dúvida é: quando essa região rotacionar ao redor da reta y   =   8 , qual vai ser o volume do sólido? Vem descobri comigooo!

Passo 2

A ideia aqui é usar o método do anel que tem o objetivo de calcular o volume de um sólido com um buraco no meio. Assim como pode ser visto na imagem abaixo, o volume é a diferença entre o volume da região maior e o volume da região menor.

Portanto precisamos saber o raio externo R e e o raio interno R i . Como o sólido rotacional ao redor da reta y   =   L , então:

R e = f x - L

R i = g x - L

Nesse caso, o volume do sólido de revolução obtido pela revolução da região R em torno da reta y   =   8 é dado por:

V = ∫ a b π R 2 d x =   ∫ a b π f x - L 2 - g x - L 2   d x  

Passo 3

Substituindo na fórmula, temos:

V = ∫ 0 4 π x - 8 2 - x + 4 2 - 8 2   d x  

Simplificando a equação.

V = π - ∫ 0 4 1 4 x - 12 2 d x + ∫ 0 4 x - 8 2 d x   = π - 304 3 + 448 3 = 48 π

Prontinho, encontramos o volume do sólido! Curtiu a resolução? Responde Aí ;)

Resposta

48 π

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