Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelas curvas:

e A região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela reta y = 3 e pela curva x = 2 / raiz(y + 1)

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelos eixos coordenados, ou seja, x = 0 e y = 0 . , também pelas curvas

x = 2 y + 1   e   y   =   3

em que a rotação é realizada em torno do eixo y . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo y forma o seguinte sólido

É como um tronco de árvore cortado! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d y , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo y este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo y . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Usando a nossa função x = f ( y ) , com os limites indo de a = 0 até b = 3 . Portanto, temos que

V   =   π ∫ 0 3 [ 2 y + 1 ] 2 d y = 4 π ∫ 0 3 1 y + 1 d y

Quando temos integrais do tipo 1 y + c é conveniente fazermos a seguinte mudança de variável, em nosso caso com c = 1 , temos

u =   y + 1 e d u = d y

Portanto, a nossa integral tem a seguinte forma

V   = 4 π ∫ 0 3 1 y + 1 d y = 4 π ∫ u ( 0 ) u ( 3 ) 1 u d u

Para calcular os limites de integração podemos usar que u ( 0 ) = 0 + 1 = 1 e u ( 3 ) = 3 + 1 = 4 , portanto, precisamos calcular a seguinte integral

V   = 4 π ∫ 1 4 1 u d u

Lembra como calcular uma integral dessa forma? Vem comigo!

Passo 3

A integral pode ser resolvida usando que

∫ a b 1 u d u = l n ( u ) | a b = l n ( b ) - l n ( a )

Portanto, o resultado que queremos é

∫ 1 4 1 u d u = l n ( u ) | 1 4 = l n ( 4 ) - l n ( 1 )

Ou, simplesmente

∫ 1 4 1 u d u = l n ( 4 )

já que l n ( 1 ) = 0 . Com este resultado temos que

V   = 4 π   l n ( 4 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V   = 4 π   l n ( 4 )

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