4. Seja R a região do plano delimitada pelas curvas y = tan(x) , x = pi / 3 e y = 0 . Determine o volume do sólido S de revolução obtido da rotação de R em torno da reta y = 2 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma questão de calculo de volume. Ou seja, vamos ter que integrar para encontrar o volume deste sólido S .

Para quem não lembra a fórmula de volume para um sólido de revolução, usando o método dos discos, é

V S = π ∫ a b r ( x ) 2 2 - r x 1 2 d x

Então vamos desenhar a figura para entender quais os limites de integração deste sólido e as funções que o limitam também.

Bora lá!

Passo 2

Desenhando todas as curvas indicadas no enunciado ficamos com

Repara que o nosso sólido varia em x de x = 0 até x = π 3 . E o raio em y vai variar de y = tan ⁡ x até y = 2 .

Ou sejan temos que,

r x 2 = 2

E

r x 1 = 2 - tan ⁡ x

Logo, a nossa integral ficará assim,

V S = π ∫ 0 π 3 [ 2 2 - 2 - tan ⁡ x 2 d x

V s = ∫ 0 π 3 4 tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x

Agora bora integrar!

Passo 3

Repara que temos uma integral trigonométrica para resolver,

V S = π ∫ 0 π 3 4 tan ⁡ x - tan 2 ⁡ x d x

Então vamos usar a relação de tangente e secante. Lembra que

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x + 1

Logo,

V S = π ∫ 0 π 3 4 tan ⁡ x - sec 2 ⁡ x + 1 d x

Resolvendo essa integral, ficamos com,

V S = π - 4 ln ⁡ cos ⁡ x - tan ⁡ x + x 0 π 3

V s = π 4 ln ⁡ 2 - 3 + π 3

Prontinho!

Resposta

V s = π 4 ln ⁡ 2 - 3 + π 3

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