Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelas curvas:

b) x = y^(3/2), x = 0, y = 2

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas

x = y 3 / 2 ,   x = 0 ,   y = 2

em que a rotação é realizada em torno do eixo y . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo y forma o seguinte sólido

É como um funil sem o buraquinho de baixo! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d y , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo y este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo y . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Usando a nossa função x = f ( y ) , com os limites indo de a = 0 até b = 2 , temos que

V   =   π ∫ 0 2 [ y 3 / 2 ] 2 d y = π ∫ 0 2 y 3 d y

A integral pode ser resolvida usando que

∫ a b y n d y = 1 n + 1 y n + 1 | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

para n = 3 , temos que

∫ 0 2 y 3 d y = 1 3 + 1 y 3 + 1 | 0 2 = 1 4 [ 2 4 - 0 4 ]

Ou, simplesmente

∫ 0 2 y 3 d y = 4

Com este resultado temos que

V   = 4 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V   = 4 π

Exercícios de Livros Relacionados