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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado:

R :                     y = x 2 - 2 x ,   y = 4 - x ² E :                                                                       r e t a   y = 4

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos das funções pra entender bem a região R :

Passo 2

Então R é a área azul, cujos pontos de interseção vamos descobrir fazendo:

x 2 - 2 x = 4 - x 2 → x 2 - x - 2 = 0

x 1 = - 1     e   x 2 = 2

Então, temos - 1 ≤ x ≤ 2 .

Perceba que teremos que integrar em x , pois iremos girar em torno da reta y = 4 .

Assim, o método dos discos fica com a cara:

V = ∫ x 1 x 2 π f x - E 2 = ∫ x 1 x 2 π f x - 4 2

E o volume do sólido todo é:

∫ - 1 2 π x 2 - 2 x - 4 2 - 4 - x 2 - 4 2 d x = ∫ - 1 2 π - - x 2 2 + x 2 - 2 x - 4 2 d x

∫ - 1 2 π - x 4 + x 4 - 4 x 3 - 4 x 2 + 16 x + 16 d x = ∫ - 1 2 π - 4 x 3 - 4 x 2 + 16 x + 16 d x

∫ - 1 2 π - 4 x 3 - 4 x 2 + 16 x + 16 d x = π - x 4 - 4 3 x 3 + 8 x 2 + 16 x - 1 2 = 45 π

Resposta

∫ - 1 2 π x 2 - 2 x - 4 2 - 4 - x 2 - 4 2 d x = 45 π

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