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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

3. Sera R a região limitada pela curva y = ln ⁡ x e pelas retas x = 0 , y = 1 e y = 2 . Faça um esboço de R e calcule o volume gerado pela rotação de R em torno do eixo y .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui o que problema nos da dois comandos: calcular o volume e esboçar a região.

Então vamos começar desenhando a região, identificando nela os limites de integração e depois integrando para achar o volume.

Bora lá!

Passo 2

A região que o problema descreve é limitada por y = ln ⁡ x e pelas retas x = 0 , y = 1 e y = 2 . Então vamos encontrar essas interceções com y = ln ⁡ x

Então vamos desenhar a região:

Agora vamos montar a nossa integral!

Passo 3

Para calcular o volume da região que acabamos de encontrar ao rotacionarmos no eixo y , vamos seguir a seguinte relação:

V = π ∫ a b g y 2 d y

No eixo x , ela está sendo limitada entre os pontos x = 0 e x = e y (que é a função inversa da função y = ln ⁡ x ).

Já no eixo y , ela está sendo limitada entre as equações y = 1 e y = 2 .

Sendo assim, a nossa integral ficará,

V = π ∫ 1 2 e y - 0 2 d y = π ∫ 1 2 e 2 y d y

Vamos agora encontrar a nosso volume!

Passo 4

Integrando,

V = π ∫ 1 2 e 2 y d y

Ficamos com,

V = π ∫ 1 2 e 2 y d y = π 1 2 e 2 y | 2 1

V = π e 4 - e 2 2

Resposta

V = π e 4 - e 2 2

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