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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 11

Encontre a região do sólido quando a região limitada por   y   = 1 x ( 3 - x ) , y = 0 , x = 1 e x = 2 é girado em torno do eixo   x .

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo calcularmos o volume de um sólido de revolução gerado ao rotacionar a região limitada pelas curvas   y   = 1 x ( 3 - x ) , y = 0 , x = 1 e x = 2 em torno do eixo   x

Vamos nessa!!!

Passo 2

A fórmula para calcular o volume de um sólido de revolução é bem conhecida, vocês lembram qual é?

Vamos dar uma revisada!!!

Seja f ( x ) uma função, então o volume do sólido gerado ao rotacionar f ( x ) em relação ao eixo x no intervalo [ a , b ] é:

V   = π ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x

Passo 3

Agora que relembramos a fórmula, vamos aplicar!!!

Nessa questão a f ( x ) é :

y   = 1 x ( 3 - x )

Então:

V   = π ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x

= π ∫ 1 2 ( 1 x ( 3   -   x ) ) d x

Vamos usar frações parciais para simplificar essa integral. Para isso iremos encontrar A   ,   B ,   tais que

1 x ( 3   -   x )   =   A x   + B 3 - x      

Vamos encontrar A   e   B tais que

1 x ( 3   -   x )   =   A x   + B 3 - x      

Como estamos fazendo uma separação simples, podemos notar que

A   =   1 / 3

B   =   - 1 / 3

Passo 4

Usando os valores de A   ,   B que calculamos no passo anterior, chegamos a conclusão que

1 x ( 3   -   x )   =   A x   + B 3 - x      

⇒ 1 x ( 3   -   x )   =   1 / 3 x   - 1 / 3 3 - x      

Então nosso volume fica:

π ∫ 1 2 1 x ( 3   -   x ) d x   = π ∫ 1 2 1 / 3 x   - 1 / 3 3 - x d x  

Pela linearidade da integral

= π ∫ 1 2 1 / 3 x d x   - ∫ 1 2 1 / 3 3 - x d x

mas essas integrais são bem conhecidas. Então

= π ( 1 3 ( l n ( | x | )   -   l n ( | 3 - x | ) ) ) | x = 2 x = 1

Agora calculamos no intervalo [ 1,2 ]

= π   3 ( l n ( 2 )   +   l n ( 2 ) )

juntando tudo

= π   3 ( l n ( 4 )   )

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Cálculo 1. Revisamos a fórmula do volume de um sólido de revolução. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

π   3 ( l n ( 4 )   )

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