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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

a) Considere os parboloides

P 1 = x , y , z ∈ R 3   z = - 1 + 5 x 2 + 5 y 2 }

e

P 2 = x , y , z ∈ R 3   z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 }

Determine a equação da projeção no plano x y da curva interseção dos paraboloides. Esboce também esta projeção.

b) Calcule o volume da região espacial

U = x , y , z ∈ R 3   z ≥ - 1 + 5 x 2 + 5 y 2 ,   z ≤ 1 - 4 x 2 - 4 y 2 }  

c) Encontre a posição do centroide da região U indicada no item 1b.

Passo 1

a) Para achar a projeção em x y da curva de interseção entre esses dois paraboloides, a gente substitui o valor de z de uma equação na outra, assim teremos uma equação só de x y , assim:

z = - 1 + 5 x 2 + 5 y 2

z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2

∴

- 1 + 5 x 2 + 5 y 2 = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 ∴ 9 x 2 + 9 y 2 = 2

Vamos dividir tudo por 9 , aí nossos termos quadráticos ficam sozinhos, e a gente consegue esboçar essa curva:

x 2 + y 2 = 2 9 ∴ x 2 + y 2 = 2 3 2

E isso é uma circunferência de raio 2 / 3 e centro na origem. Aí o esboço dessa belezinha fica assim:

Vamos seguir!

Passo 2

b) Queremos calcular um volume de uma região entre duas superfícies. A gente pode fazer isso usando a integral tripla:

∫ ∫ ∫ U 1 d x d y d z

Sendo que U é a região entre os parabolóides. Vamos ler as inequações que ele deu!

z ≥ - 1 + 5 x 2 + 5 y 2

Isso quer dizer que nossa região está limitada por baixo pelo paraboloide z = - 1 + 5 x 2 + 5 y 2 . (vemos isso porque o eixo z está limitado por cima pela equação do paraboloide)

  z ≤ 1 - 4 x 2 - 4 y 2

E essa quer dizer que nossa região está limitada por cima pelo paraboloide   z = 1 - 4 x 2 - 4 y 2 .

Aí colocando num gráfico:

Bora ver como fazer isso!

Passo 3

A gente tem que descrever o domínio U , que é essa região com formato de capsula de remédio. Percebe que a gente consegue limitar z de maneira tranquila entre duas funções juntando a inequações que ele deu:

- 1 + 5 x 2 + 5 y 2 ≤ z ≤ 1 - 4 x 2 - 4 y 2

E percebe que a interseção dessas duas superfícies é uma circunferência paralela ao plano x y . Essas são dicas de que a gente vai usar as coordenadas cilíndricas para descrever esse domínio.

Isso significa que a gente vai aplicar as transformações:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

x 2 + y 2 = r 2

j a c = r

Então para escrever os extremos de integração, limitamos essas variáveis que a gente tem: z ,   θ e r .

Já limitamos z , mas ele está entre funções de x e y . Precisamos aplicar nossas transformações para ele ficar entre funções de r e θ :

- 1 + 5 x 2 + 5 y 2 ≤ z ≤ 1 - 4 x 2 - 4 y 2

- 1 + 5 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 - 4 x 2 + y 2

- 1 + 5 r 2   ≤ z ≤ 1 - 4 r 2

Agora tá belezinha!

Passo 4

E θ e r ? Definir elas é parecido com definir uma região em x y por coordenadas polares. Precisamos achar essa circunferência de interseção entre as superfícies. Mas lembra que a gente já achou isso no item (a):

x 2 + y 2 = 2 3 2

A gente vê que toda nossa região (quando a gente olha para x y ) está contida dentro dessa circunferência. Então a gente pode dizer que:

x 2 + y 2 ≤ 2 3 2

Substituindo nossas transformações nessa inequação:

r 2 ≤ 2 3 2 ∴ r ≤ 2 3

E como não há mais restrições, podemos assumir:

0 ≤ r ≤ 2 3 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

Belezinha?

Obs: a gente também podia limitar essas variáveis desse passo olhando o esboço da região x 2 + y 2 ≤ 2 3 2 em x y . Aí fica mais a seu critério mesmo.

Passo 5

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

∫ ∫ ∫ U 1 d x d y d z

∴

∫ ∫ ∫ U 1 d z d r d θ

Depois a gente multiplica ele por j a c = r

∫ ∫ ∫ U r d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

- 1 + 5 r 2 ≤ z ≤ 1 - 4 r 2

0 ≤ r ≤ 2 3 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ∫ - 1 + 5 r 2 1 - 4 r 2 r d z d r d θ

Passo 6

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ∫ - 1 + 5 r 2 1 - 4 r 2 r d z d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 r 1 - 4 r 2 + 1 - 5 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 2 r - 9 r 3 d r d θ

∫ 0 2 π r 2 - 9 4 r 4 0 2 3 d θ = ∫ 0 2 π 2 9 - 9 4 2 9 2 d θ

V = ∫ 0 2 π 2 9 - 1 9 d θ = 2 π 9

Prontinho!

Passo 7

c) Vamos agora calcular o centroide dessa região:

Como ela é simétrica em relação ao eixo z , as coordenadas x e y do centroide zerão igual a zero (localização de z ).

C = x - , y - , z - = 0,0 , z -

Falta a gente achar z → . Para isso, vamos usar a fórmulinha:

z - = ∭ U z d V ∭ U 1 d V

Essa integral do denominador a gente já calculou no item anterior

z - = ∭ U z d V 2 π 9 = 9 2 π   ∭ U z d V

Então é calcular essa integral tripla aí!

Passo 8

Percebe que o domínio dela é o mesmo da integral do item (b), então a gente vai usar os mesmo extremos de integração!

Agora é montar a integral. Primeiro a gente substitui nossa transformação no nosso integrando:

x = r cos ⁡ θ ,   y = r   s e n   θ ,   z = z

∫ ∫ ∫ U z d x d y d z

∴

∫ ∫ ∫ U z d z d r d θ

Depois a gente multiplica ele por j a c = r

∫ ∫ ∫ U r z d z d r d θ

Aí a gente pode colocar nossos extremos de integração:

- 1 + 5 r 2 ≤ z ≤ 1 - 4 r 2

0 ≤ r ≤ 2 3 ,     0 ≤ θ ≤ 2 π

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ∫ - 1 + 5 r 2 1 - 4 r 2 z z r d z d r d θ

Passo 9

Bora calcular essa belezura:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 ∫ - 1 + 5 r 2 1 - 4 r 2 z r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 z 2 2 - 1 + 5 r 2 1 - 4 r 2 d r d θ

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 1 - 4 r 2 2 - - 1 + 5 r 2 d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 1 - 8 r 2 + 16 r 4 - 1 + 10 r 2 - 25 r 4 d r d θ

1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3 2 r 2 - 9 r 4 d r d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 2 3 r 3 - 9 5 r 5 0 2 3 d θ = 1 2 ∫ 0 2 π 2 3 2 3 2 2 3 - 9 5 2 3 4 2 3 d θ

1 2 ∫ 0 2 π 4 2 81 - 4 2 27 ⋅ 5 d θ = π 4 2 81 - 4 2 27 ⋅ 5

Aí nossa coordenada z - fica:

z - = 9 2 π   ∭ U z d V = 9 2 π   π 4 2 81 - 4 2 27 ⋅ 5 = 2 2 9 - 2 2 3 ⋅ 5 = 2 2 9 - 2 2 15

z - = 10 2 45 - 6 2 45 = 4 45 2

Para acabar!

C = x - , y - , z - = 0,0 , 4 45 2

Ufa! Arrasamos!

Resposta

a) x 2 + y 2 = 2 9

b) V = π 9

c) C = 0,0 , 4 45 2

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