3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas:

(c) y = x - x^2 , y = 0 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o volume do solido que se forma ao rotacionar a área limitada pelas curvas y = x - x 2 e y = 0 ao redor do eixo x .

Esboçando as curvas e hachurando a área que é contida entre elas, vamos obter

Rotacionando essa região em x vamos obter um solido parecido com uma bola de futebol americano, consegue ver isso?

Mas como podemos obter o volume desse solido que é formado? 🤔

Imagine se fatiarmos o solido em infinitos pedaços cortando-o perpendicularmente ao eixo x , o que vamos ter são infinitos discos de altura infinitesimal.

Essa é a ideia do método dos discos! Bora começar? 😎

Passo 2

O volume de um disco é dado por

V = π r 2 h

Onde r é o raio e h é a altura

No caso, o raio de cada pedaço é dado pela distância de y = 0 até y = x - x 2 , então em cada pedaço de volume d V o raio será dado por x - x 2 e h será dado por um valor infinitesimal d x . Ou seja

d V = π x - x 2 2 d x

Integrando os dois lados...

∫ d V = ∫ π x - x 2 2 d x

V = ∫ π x - x 2 2 d x

Estamos interessados apenas na região que se forma no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 , como vemos no esboço. Portanto aplicamos esse valor nos limites de integração de V

V = ∫ 0 1 π x - x 2 2 d x

Tirando a constante π para fora da integral, vamos obter

V = π ∫ 0 1 x - x 2 2 d x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vamos reorganizar a função de integração x - x 2 2

x - x 2 2 = x 2 - 2 x 3 + x 4

Substituindo em V

V = π ∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 d x

Pelo método de integração polinomial, somando 1 no expoente de x e o dividindo pelo resultado da soma.

∫ x 2 - 2 x 3 + x 4 d x = x 2 + 1 2 + 1 - 2 x 3 + 1 3 + 1 + x 4 + 1 4 + 1 = x 3 3 - x 4 2 + x 5 5

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 d x = 1 3 3 - 1 4 2 + 1 5 5 - 0 3 3 - 0 4 2 + 0 5 5

∫ 0 1 x 2 - 2 x 3 + x 4 d x = 1 30

Substituindo esse resultado em V , temos

V = π 1 30

V = π 30

Portanto, o volume do solido formado pela região que obtemos no passo 1, é π 30 ! Bacana, não é?

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

V = π 30

Exercícios de Livros Relacionados