Seja S o sólido comum a duas esferas, cada qual com raio 6 cm , cujos centros distam 5 cm entre si. O volume de S é

a) 1421 * pi / 12 * c * m^3

b) (1421 * pi) / 24 c m^3

c) (2842 * pi) / 8 cm^3

d) 1781 * pi / 12 * m^3

e) (2842 * pi) / 6 * m^3

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Nesse problema vamos brincar um pouco com o uso de integrais para calcular o volume de sólidos de revolução.

Você deve ter aprendido que é possível calcular o volume de uma esfera pensando na rotação da região limitada pela curva y = R 2 - x 2 e a reta y = 0 em torno do eixo x , o que é dado pela integral

V = ∫ - R R π   R 2 - x 2 2   d x

Nesse problema vamos usar essa ideia, mas para calcular o volume comum (interseção) a duas esferas de raio 6 cujos centram distam 5 . Para fazer isso, vamos considerar duas circunferências de raio R = 6 , uma centrada na origem e a outra no ponto 5 ,   0 . As equações dessas circunferências são

x 2 + y 2 = 36             e           x - 5 2 + y 2 = 36

Isolando y em cada uma, achamos

y = 36 - x 2               e           y = 36 - x - 5 2

A seguir desenho as duas curvas:

Em vermelho temos a curva y = 36 - x 2 e em azul a curva y = 36 - x - 5 2 . Para achar a intersecção entre as curvas (ponto na extremidade da reta verde), fazemos

36 - x 2 = 36 - x - 5 2

Isso nos leva a

x = 5 2

Passo 2

O volume do sólido pedido será dado pela soma do volume do sólido obtido pela rotação da região abaixo da curva azul com x entre - 1 e 5 / 2 com o volume do sólido obtido pela rotação da região abaixo da curva vermelha com x entre 5 / 2 e 6 . Pela simetria do problema, os dois volumes são iguais, de modo que podemos escrever

V = ∫ - 1 5 / 2 π 36 - x - 5 2 2 d x + ∫ 5 / 2 6 π 36 - x 2 2   d x

V = 2 ∫ 5 / 2 6 π 36 - x 2 2   d x = 2   ∫ - 1 5 / 2 π 36 - x - 5 2 2 d x

As duas integrais vão nos dar a mesma resposta. Vamos calcular a primeira que é um pouquinho mais simples:

V = 2 π ∫ 5 / 2 6 36 - x 2   d x = 2 π 36 x - x 3 3 5 / 2 6

Portanto,

V = 2 π 36 ⋅ 6 - 6 3 3 - 36 ⋅ 5 2 + 1 3 5 2 3

Assim,

V = 2 π 216 - 216 3 - 90 + 1 3 ⋅ 125 8 = 2 π 54 + 125 24

Logo,

V = 2 π ⋅ 1421 24 = 1421 π 12

Daí, é só assinalar a alternativa A 😊.

Resposta

Alternativa A.

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