UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral II- Listas - Teste 9 - Lista 3 - Questão 14 - Alternativa a)
Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:
do eixo , usando o método do anel.
Passo 1
Opa! Tudo bem com você?
O enunciado pede para que calculemos o volume do sólido de revolução da região delimitada pelas retas
, e
Esta região é a seguinte
A reta superior intercepta o eixo em e a reta inferior em , a intersecção entre as duas acontece em . Nesta alternativa precisamos realizar a revolução em torno do eixo , de forma que obtemos o seguinte sólido de revolução
A linha vermelha é a reta , a linha azul a reta , e reta verde indica o eixo . O enunciado nos pede para utilizarmos o método dos anéis! Vamos relembrá-lo rapidamente!
Passo 2
O método dos anéis é bem similar ao método dos discos, mas usado quando temos um sólido com um buraco no meio! O segredo é calcular o volume como um todo usando o método dos discos e tirar o “volume” do buraco, ou seja, temos que
e, da mesma forma, podemos calcular o volume do buraco como
em que é a função que gera a borda, em nosso caso, é a reta , e gera a borda interna, ou neste problema . Como temos que o volume total é a diferença entre eles, temos que
Os valores de e são obtidos olhando de quando até quando vai a variável , em nosso caso é de , até . Substituindo todas estas informações, temos que
expandindo o quadrado, temos que
Agrupando alguns termos em comum, simplificamos o nosso integrando para
Ótimo! Agora é só resolver! Vamos identificar as primitivas no próximo passo!
Passo 3
Aqui precisamos identificar primitivas da forma
com , temos
da mesma forma, temos que com
e, para , temos
Com estes resultados em mão podemos escrever que
Ou, simplesmente
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!