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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 2.7a

Considere a região R limitada pelas curvas y   =   x ,   y   = 0   e   x   =   c   >   0 .

(a) Encontre o valor de c para o qual o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o valor de c para o qual o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π.

Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo y de espessura dx, podemos utilizar o método dos discos, nesse os retângulos são perpendiculares ao eixo de rotação, sendo o volume dado por

V = π   ∫ x i x f r 2   d x

sendo:

r = x o raio do disco formado;

d x a largura do disco;

x i = 0 e x f = c

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Vamos resolver a integral e aplicar os limites de integração:

V = π   ∫ 0 c x   d x

V = π   x 2 2   | 0 c

Passo 3

Igualando o volume a 8 π :

V = 1 2 π   c 2 = 8 π

  c 2 = 16

Isolando c

  c = 16 = 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  c = 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .