Considere a região R limitada pelas curvas y = raiz(x), y = 0 e x = c > 0 .

(a) Encontre o valor de c para o qual o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar o valor de c para o qual o sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x tenha volume igual a 8π.

Se escolhermos retângulos paralelos ao eixo y de espessura dx, podemos utilizar o método dos discos, nesse os retângulos são perpendiculares ao eixo de rotação, sendo o volume dado por

V = π   ∫ x i x f r 2   d x

sendo:

r = x o raio do disco formado;

d x a largura do disco;

x i = 0 e x f = c

Então vamos lá resolver essa integral!

Passo 2

Vamos resolver a integral e aplicar os limites de integração:

V = π   ∫ 0 c x   d x

V = π   x 2 2   | 0 c

Passo 3

Igualando o volume a 8 π :

V = 1 2 π   c 2 = 8 π

  c 2 = 16

Isolando c

  c = 16 = 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  c = 4 .

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