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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = 9 , da região

A = { ( x , y ) ∈ R 2   : y ≥ x 2 , y ≤ x - 3 2 , y ≤ x + 3 2 }

Passo 1

Vamos começar desenhando a região e tentando definir de que área ele está tratando:

Bom, se você for procurar entender o espaço onde y ≥ x 2 e y ≤ x - 3 2 , y ≤ x + 3 2 , ficaríamos com a região dentro do vermelho (acima da linha vermelha) e abaixo da azul:

Essa região em verde é a que procuramos. Se trabalharmos as igualdades da parte vermelha com a parte azul da direita temos

x 2 = x - 3 2

E achamos

x = 3 2

Se fizermos a outra igualdade, dessa vez da vermelha com a parte azul da esquerda temos

x 2 = x + 3 2

E achamos

x = - 3 2

A região que está girando vai ser separada em duas parte, uma a direita do eixo y e uma a esquerda do eixo y . A da direita vai ser o giro do x 2 menos o do x + 3 2 no eixo y = 9 , onde vamos ter x indo de - 3 / 2 à 0 .

A partira daí fazemos, no mesmo eixo, giro do x 2 menos o do x - 3 2 , com x entre 0 e 3 / 2 . Podemos então armar a operação:

V = ∫ - 3 / 2 0 π x 2 - 9 2 d x - ∫ - 3 / 2 0 π x + 3 2 - 9 2 d x + ∫ 0 3 / 2 π x 2 - 9 2 d x - ∫ 0 3 / 2 π x - 3 2 - 9 2 d x

Por simetria, podemos calcular só de um lado e multiplicar por 2 , ou seja:

V = 2 ∫ 0 3 2 π x 2 - 9 2 d x - ∫ 0 3 2 π x - 3 2 - 9 2 d x

= 2 π ∫ 0 3 2 x 2 - 9 2 - x - 3 2 - 9 2 d x

= 2 π ∫ 0 3 2 x 2 - 9 2 - x 2 - 6 x 2 d x

= 2 π ∫ 0 3 2 x 4 - 18 x 2 + 81 - ( x 4 - 12 x 3 + 36 x 2 ) d x

= 2 π ∫ 0 3 2 12 x 3 - 54 x 2 + 81 d x

= 2 π 3 x 4 - 18 x 3 + 81 x [ 3 / 2 0

= 2 π 3 3 2 4 - 18 3 2 3 + 81 3 2 - 3 0 4 - 18 0 3 + 81 0

= 2 π 1215 16 = 1215 π 8

Resposta

V = 1215 π 8

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