Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo x , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

e) y = sec(x), y = raiz(2), -π/4 ≤ x ≤ π/4

Passo 1

Oii pessoal, como vocês estão?

Pra matar mais essa questão, precisamos calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região delimitada pelas curvas:

y = sec ⁡ x y = 2

Com x variando no intervalo - π 4 , π 4 .

Eaí, alguém lembra como podemos calcular volume de sólidos de revolução?

Um método massa que é bem útil quando estamos falando de rotação em torno do eixo x é o método dos discos. Segundo ele:

V =   ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Então é isso! Vamos primeiro identificar a região que será rotacionada, e depois usamos o método dos discos para calcular o volume do sólido de revolução!

Passo 2

Sobre a região que será rotacionada, ela está sendo limitada pelas curvas:

y = sec ⁡ x y = 2

no intervalo - π 4 , π 4 .

A primeira curva é uma função trigonométrica, o seu gráfico é do tipo:

Já a segunda curva é uma função constante. Assim, colocando ambas as curvas em um mesmo gráfico e pensando no intervalo considerado, temos:

Onde as intersecções mostradas ocorrem exatamente em - π / 4 e π 4 . Pois:

sec ⁡ x = 2

1 cos ⁡ x = 2

cos ⁡ x = 2 / 2

∴ x = π 4   o u   x =   - π 4

Show de bola!

Passo 3

Agora vamos usar o método dos discos para calcular o volume obtido pela rotação desse sólido.

Como o método dos discos calcula o volume obtido pela rotação de uma região abaixo da curva f ( x ) . Precisaremos fazer que:

V Ω = V 1 - V 2

onde:

V 1 : Volume obtido pela rotação da região abaixo da curva vermelha ( y = 2 ).

V 2 : Volume obtido pela rotação da região abaixo da curva azul ( y = sec ⁡ x ) .

Isso no intervalo [ - π 4 , π 4 ] .

Como, pelo método dos discos:

V =   ∫ a b π ⋅ f x 2 d x

Temos:

V 1 =   ∫ - π 4 π 4 π ⋅ 2 2 d x

E:

V 2 =   ∫ - π 4 π 4 π ⋅ sec ⁡ x 2 d x

Boa!

Passo 4

Show! Vamos pro nosso último passo: calcular as duas integrais.

Começando por V 1 :

V 1 =   ∫ - π 4 π 4 π ⋅ 2 2 d x

Colocando as constantes para fora da integral:

V 1 = π ⋅ 2 ∫ - π 4 π 4 d x

V 1 = 2 π ⋅ π 4 - - π 4

Logo:

V 1 =   π 2

Indo agora para V 2 , vem:

V 2 = ∫ - π 4 π 4 π ⋅ sec ⁡ x 2 d x

V 2 = π ⋅ ∫ - π 4 π 4 sec 2 ⁡ x d x

Mas, lembram qual é a derivada da tangente?

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x

Logo, pelo teorema fundamental do cálculo:

V 2 = π ⋅ tan ⁡ x - π 4 π / 4

∴ V 2 = π ⋅ 1 - - 1

⇒ V 2 = 2 π

Juntando ambos os resultados na nossa equação de V Ω , vem:

V Ω = V 1 - V 2

∴ V Ω =   π 2 - 2 π

Assim:

V Ω = π ( π - 2 )

Prontinho! É isso galera, espero que vocês tenham curtido a solução. Valeeu 😊

Resposta

π ( π - 2 )

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