UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral II- Listas - Teste 9 - Lista 3 - Questão 3 - Alternativa f)
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:
Passo 1
Opa! Tudo bem com você?
O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas
em que a rotação é realizada em torno do eixo . Temos que a região é a seguinte
Que após rotacionada em torno do eixo forma o seguinte sólido
É como se fosse uma cornetinha! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por , de forma que o volume é
Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo este formato serve! Os limites e , indicam onde o sólido começa e termina no eixo . Vamos tentar resolver? Vem comigo!
Passo 2
Utilizando nossa função como e os limites de integração como e , temos a seguinte integral para o volume
Agora é só resolver esta integral! E, a questão acabou! hehehehe! No entanto, esta integral é bastante direta, podemos identificar a seguinte primitiva
Vamos utilizar isso para calcular então a nossa integral! Saca só!
Passo 3
Temos que o volume resulta em
Podemos reescrever isso usando a seguinte propriedade do logaritmo
Portanto, temos finalmente que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!