Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

g(y) = e^x + 1; x = 0; x = 1, y = 1, em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = e x + 1 x = 0 x = 1 y = 1

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo x . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região plana que será rotacionada em torno do eixo x .

Essa região é limitada em x pelas retas x = 0 e x = 1 . Elas definem os intervalos de integração do volume.

Superiormente ela é limitada pela curva y = e x + 1 , e inferiormente pela reta y = 1 .

Para rotacionar em torno do eixo x , teremos a seguinte área da secção transversal:

A x = π ⋅ ( e x + 1 2 - 1 2 )

Daí, podemos escrever o volume do sólido de revolução:

V = ∫ 0 1 π ⋅ ( e x + 1 2 - 1 2 ) d x

Muito bom!

Passo 3

Vamos resolver a integral do volume.

Temos que:

V = ∫ 0 1 π ⋅ ( e x + 1 2 - 1 2 ) d x

= π ⋅ ∫ 0 1 e 2 x + 2 e x + 1 - 1 ) d x

= π ∫ 0 1 e 2 x + 2 e x d x

Daí:

V = π ⋅ e 2 x 2 + 2 e x 0 1

= π ⋅ e 2 2 + 2 e - 1 2 + 2

Portanto:

V = π ⋅ e 2 + 4 e - 5 2

Prontinho pessoal! Finalmente matamos essa questão 😉

Obrigado pela atenção de todos e até uma próxima!!

Resposta

π ⋅ e 2 + 4 e - 5 2

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