Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y , da região limitada pelas curvas:

a) x = raiz(5) * y^2, x = 0. y = -1, y = 1

Passo 1

Opa! Tudo bem com você?

O enunciado quer que calculemos o sólido de revolução da seguinte região delimitada pelas seguintes curvas

x = 5 y 2 ,   x = 0 .   y = - 1 ,   y = 1

em que a rotação é realizada em torno do eixo y . Temos que a região é a seguinte

Que após rotacionada em torno do eixo y forma o seguinte sólido

É como se fosse uma ampulheta curvada! Consegue visualizar? Mas como calculamos o volume disso? Quando temos sólidos que não tem nenhum buraco no meio, é bastante conveniente usar o método dos discos, você deve estar se perguntando, e o que é isso? Trata-se de fazer a soma de diversos discos infinitesimais, de raio dado pela função que limita a borda do sólido, e altura dada por d y , de forma que o volume é

V   =   ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y

Essa fórmula pode aparecer com outros formatos, mas quando estamos rotacionando em torno do eixo y este formato serve! Os limites a e b , indicam onde o sólido começa e termina no eixo y . Vamos tentar resolver? Vem comigo!

Passo 2

Utilizando nossa função como f ( y ) = 5 y 2 e os limites de integração como a = 0 e b = 1 , temos a seguinte integral para o volume

V 2   =   π ∫ 0 1 [ 5 y 2 ] 2 d y = 5 π ∫ 0 1 y 4 d y

Mas note que eu considerei apenas de 0 até 1 , e não todo o intervalo de - 1 até 1 , é porque abaixo do eixo x temos o mesmo sólido que na parte de cima, só precisamos lembrar de multiplicar o resultado final por 2 ! Agora é só resolver esta integral! E, a questão acabou! hehehehe! No entanto, esta integral é bastante direta, podemos identificar a seguinte primitiva

∫ a b y n d y = y n + 1 n + 1 | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

Vamos utilizar isso para calcular então a nossa integral! Saca só!

Passo 3

Temos que o volume resulta em

V 2   = 5 π [ y 4 + 1 4 + 1 ] | 0 1 = π [ 1 5 - 0 5 ]

Portanto, temos finalmente que

V 2   = π

Ou, simplesmente

V = 2 π

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

V = 2 π

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