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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Questão 5) Considere a região limitada pelas curvas y = x 2 e y = 0 no intervalo 2 ,   3 . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

Bem, o volume de um sólido formado girando por uma curva ao redor de x pode ser calculado pelo método dos discos...

V R = ∫ a b π f x - g x 2 d x

Onde o que basicamente devemos fazer é procurar quem são os termos dessa integral e calcula-la. Então vamos nessa?

Passo 2

As funções f x e g x são as funções que estão por cima e por baixo respectivamente. Mas agora quem poderão ser elas? Ora, basta que desenhemos a região indicada no enunciado:

y = x 2 é uma curva que delimita R e também y = 0 (em azul)

Como x varia de 2 a 3 , a região R é essa daqui:

Repare que a função que está por cima é a parábola, logo...

f x = x 2

Enquanto a g ...

g x = 0

Logo...

V R = ∫ a b π x 2 - 0 2 d x →

V R = π ∫ a b x 4 d x

Passo 3

Para a e b , bem basta ver que os limites de x é de 2 e 3 , então...

a = 2

b = 3

V R = π ∫ a b x 4 d x = π ∫ 2 3 x 4 d x

Passo 4

Só calcular:

V R = π ∫ 2 3 x 4 d x =

π x 5 5 2 3 = π 3 5 5 - 2 5 5 =

211 5 π

Resposta

211 5 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .