UFCG - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral II- Listas - Teste 9 - Lista 3 - Questão 14 - Alternativa c)
Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:
da reta , usando o método do anel.
Passo 1
Opa! Tudo bem com você?
O enunciado pede para que calculemos o volume do sólido de revolução da região delimitada pelas retas
, e
Esta região é a seguinte
A reta superior intercepta o eixo em e a reta inferior em , a intersecção entre as duas acontece em . Nesta alternativa precisamos realizar a revolução em torno da reta constante , de forma que obtemos o seguinte sólido de revolução
A linha azul é a reta , a linha vermelha a reta , e reta verde indica a reta . O enunciado nos pede para utilizarmos o método dos anéis, que é bem útil quando temos um buraco dentro do sólido! Vamos relembrá-lo rapidamente!
Passo 2
O método dos anéis se trata em calcular o volume do sólido sem considerar o buraco e depois remover o volume do buraco, pelo método dos discos, temos que o volume do sólido sem buraco é dado por
que calcula o volume de um cilindro de raio , função que pode ser obtida através da reta , de forma que
No entanto, isso é verdade apenas no intervalo de até , antes disso, no intervalo de até , temos simplesmente um cilindro de raio , portanto, temos que o volume sem buraco é
Podemos expandir o quadrado, e separar em diversas integrais, temos que
mas e o “volume” do buraco? É bastante similiar, mas agora usamos um cilindro com raio , em que . De forma que
O método dos anéis nos indica então que o volume total é simplesmente
Vamos agora, resolver nossas integrações! Vem comigo!
Passo 3
Aqui precisamos identificar primitivas da forma
Para , temos que
da mesma forma, temos a integral com limites de integração diferentes
analogamente, para , temos que
e, para , temos
A última integral no entanto tem limites de integração diferentes, e obtemos novamente para , que
Com estes resultados em mão podemos escrever que
Ou, simplesmente
de forma que
A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchauzinho!