Seja uma função contínua. Sabendo-se que o volume do sólido obtido girando o gráfico de em torno do eixo entre e é para todo , encontre a expressão de quando .
Passo 1
Vejamos... Pelo método dos discos circulares, esse volume é igual à seguinte integral:
E foi dado que
Ou seja:
Passo 2
Não sabemos quanto dá essa integral:
Só sabemos que ela é uma função de . Então podemos escrever:
Tranquilo? Só chamei de essa integral, que depende de . Ou seja, temos
Passo 3
Que tal derivar dos dois lados? Aí vai ficar:
Pra achar , vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Beleza? Daí temos
Lembrando que . Então, para , isso dá no mesmo que:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .