1 – Calcule o volume do solido de revolução obtido pelo giro da região limitada por x = 8 y 2 , x = 0 , y = - 1 e y = 2 em torno do eixo y .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão estamos interessados em calcular o volume do solido que é gerado a partir da rotação em torno do eixo y da região limitada pelas equações x = 8 y 2 , x = 0 , y = - 1 e y = 2 .

Tem ideia de como fazemos isso? 👀

A primeira coisa a se fazer é visualizar como é essa área limitada por essas curvas e a partir daí escolher qual o melhor método que podemos usar.

Já adianto que o que vamos usar é o método dos discos.

O volume de um disco é dado por

V = π r 2 h

Onde r é o raio e h é a altura.

Vamos guardar essa informação, por enquanto.

Passo 2

Se esboçássemos a região que vai gerar nosso solido, vamos obter algo mais ou menos assim:

Perceba que ao rotacionar em torno do eixo y , a região desenvolverá um movimento circular em torno de y .

Assim, se dividíssemos a altura y em valores infinitesimais d y , teríamos infinitos discos de altura d y e raio x , consegue ver isso?

Então, dessa forma, cada volume infinitesimal dessa região será dado por

d V = π ( x ) ² d y

Onde agora x é o raio e d y é a altura.

x é dada pela curva verde x = 8 y 2

Integrando os dois lados de d V e substituindo x por 8 y 2 , temos

∫ d V = ∫ π ( 8 y 2 ) ² d y

V = 64 π ∫ y 4 d y

Estamos interessados apenas em y variando entre - 1 e 2 , logo

V = 64 π ∫ - 1 2 y 4 d y

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Pelo método de integração polinomial, temos que

∫ y 4 d y = y 5 5

Aplicando os limites de integração

∫ - 1 2 y 4 d y = 2 5 5 - - 1 5 5

∫ - 1 2 y 4 d y = 33 5

Substituindo em V

V = 64 π ∫ - 1 2 y 4 d y

V = 64 π 33 5

V = 2112 π 5

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 2112 π 5

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