Calcule o volume da esfera de raio r usando dos métodos que vimos na aula

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema pediu para calcularmos o volume de uma esfera de raio r

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

Percebemos que nossa função tem simetria esférica, então vamos integrar uma esfera em coordenadas esféricas! Quais são os limites e o diferencial de volume?

0 < ρ < r

0 < θ < 2 π

0 < ϕ < π

E o diferencial de volume

d V = ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Belê?

Então é isso que vamos fazer! Bora montar e resolver essa integral!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Montando a integral temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 r ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Como o integrando é independente, podemos separar em três integrais independentes

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 r ρ 2 d ρ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver!

Passo 3

Resolvendo independentemente temos

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 r ρ 2 d ρ

θ 0 2 π . - cos ⁡ ϕ 0 π . ρ 3 3 0 r

Agora é só aplicar os limites

2 π . - - 1 + 1 . r 3 3 = 4 π r 3 3

Que é a fórmula do volume da esfera!!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4 π r 3 3

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