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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFCG. Cálculo Diferencial e Integral II. Listas de Cálculo 2 UAMat. Lista 3. Questão 3a.

3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas:

(a) y = x 2 , y = 0 , x = 2 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos que o volume do solido formado pela rotação da região limitada pelas curvas y = x 2 , y = 0 e x = 2 em torno do eixo x .

A primeira coisa que temos que obter é a região no plano x y que vamos revolucionar em x .

Esboçando as curvas y = x 2 , y = 0 , x = 2 no plano e hachurando a região entre elas, vamos obter

Mas então como vamos obter o volume do solido que se forma? 🤔🤔

Para obter o volume do solido, podemos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o solido em discos de alturas infinitesimais.

Bora ver como fazemos isso? 😉

Passo 2

A altura do nosso sólido é representada pelo eixo x e o raio dos discos infinitesimais pela distância de y = 0 até a curva y = x 2

Se o volume de um disco é dado por

V = π r 2 h

Então cada volume infinitesimal d V é dado substituindo r por y = x 2 e h por uma altura infinitesimal d x , ou seja

d V = π x 2 2 d x

d V = π x 4 d x

Integrando dos dois lados, temos

∫ d V = ∫ π x 4 d x

V = ∫ π x 4 d x

Estamos interessados apenas no volume que se forma entre x = 0 e x = 2 , então vamos usar esses valores como limites de integração.

V = ∫ 0 2 π x 4 d x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora finalmente podemos resolver a integral que vai nos obter o volume do sólido!

Como π é uma constante podemos colocá-la fora da integral.

V = π ∫ 0 2 x 4 d x

Integrando pelo método de integração polinomial somando 1 no expoente da variável e a dividindo pelo resultado dessa soma, temos

∫ x 4 d x = x 4 + 1 4 + 1 = x 5 5

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 x 4 d x = 2 5 5 - 0 5 5

∫ 0 2 x 4 d x = 32 5

Substituindo em V , temos

V = π ∫ 0 2 x 4 d x

V = 32 π 5

Portanto, o volume do solido formado pela revolução da região que tínhamos no passo 1 é 32 π 5 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

V = 32 π 5

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Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
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