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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFMG – Cálculo 1 – P5 – 2020.1

Seja R a região limitada pelas curvas y = x 2 e y = - x 2 + 18 . Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de y = 26 cujo volume é igual a V. O valor de 3 V / 16 π é quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Primeiro passo pra gente fazer nessas questões de área de curvas é saber onde elas vão se encontrar. Você se lembra como vê isso?

Basicamente a gente precisa igualar as duas curvas pra saber o ponto. Depois que encontramos esses pontos, vamos precisar qual é o valor da curva nesses pontos e aí sim, vamos ter uma área limitada.

Os passos seguintes eu te mostro ao correr da questão!

Passo 2

Primeiro vamos igualar essas paradas aí!!!

x 2 = - x 2 + 18

2 x 2 = 18

x 2 = 9

x 1 = 3

x 2 = - 3

Passo 3

Agora vamos substituir esses valores nas nossas funções e obter os pontos de intersecção.

y = x 2

y - 3 = y 3 = 9

- 3,9 e 3,9

y = - x 2 + 18

y - 3 = 9

y 3 = 9

( - 3,9 ) e ( 3,9 )

Bem, agora que sabemos os pontos, temos a certeza de que o valor mínimo no eixo y que essas duas curvas vão se encontrar é y = 9 , certo? Guarda essa informação com carinho!!!

Passo 4

Agora vamos calcular qual é a região R limitada pelas curvas dentro:

R = ∫ - 3 3 x 2 d x - ∫ - 3 3 - x 2 + 18 d x

Eu coloquei o módulo aqui porque isso sempre vai evitar que a gente esteja fazendo conta errada, então isso te permite a não ficar preso sobre “qual curva está acima de outra”.

Note que se temos:

∫ - a a f x d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x

Logo:

2 ∫ 0 3 x 2 d x - 2 ∫ 0 3 - x 2 + 18 d x = 2 ∫ 0 3 x 2 d x - ∫ 0 3 - x 2 + 18 d x

R = 2 x 3 3 + x 3 3 - 18 x 0 3

R = 2 2 3 2 - 18 3 = - 72

Mas como estamos avaliando o módulo R = 72

Passo 5

Para o cálculo do volume precisamos pegar essa área e rotacionar ela em torno do eixo x dentro dos intervalos dados. Porém lembrando sempre que vamos precisar colocar um fator π na frente da nossa integral. Note que a integração agora tem que dar uma olhada no eixo y, o qual varia de 9 até y = 26

V = π ∫ 9 26 72 d y

V = 1224 π  

Logo,

3 V 16 π = 3 1224 π 16 π = 229,5

Resposta

229,5

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Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .