Seja a região do plano limitada superiormente pelo gráfico de e inferiormente pelo eixo , com .
Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região em torno do eixo .
Passo 1
Para achar esse volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo vamos usar o método dos anéis, isso porque temos um intervalo bem definido em ,
também é nosso eixo de rotação e temos uma função de .
Nesse método, a gente precisa montar a fórmulinha:
A representa a função que limita a nossa região por cima, e a função que limita a nossa região por baixo.
Passo 2
O enunciado diz que quem limita nossa região por cima é a e quem limita nossa região por baixo é o eixo , ou seja, a reta .
E na fórmula, é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo , então:
E aí a nossa integral para calcular o volume fica:
Passo 3
Vamos reescrever esse integrando, abrindo o produto notável:
Pela propriedade de potência, a gente tem que . Aí nosso integrando fica
Aí nossa integral fica:
Passo 4
Agora é calcular essa belezura. Vamos olhar a primeira integral
A gente pode resolver ela, fazendo a substituição simples:
A segunda fica parecida:
E a última:
Passo 5
Nosso volume fica:
Como :
Vamos lembrar de umas propriedades de log e potência agora. Podemos reescrever , usando essas propriedades:
Podemos reescrever , usando essas propriedades:
Aí temos, finalmente, que: