Determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

d.

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! Pra essa questão de rotação de sólidos. Aqui, a grande jogada da questão é a gente calcular a diferença das integrais das equações que compõem o gráfico. Uma coisa que facilita nesse tipo de questão, é a gente imaginar como ficaria o sólido que a gente quer calcular. Aqui é como se fosse uma espécie de cilindro com uma furação cônica dentro.

Passo 2

Belezinha? Agora indo pros cálculos! Vamos armar nossa integral. Vamos montar primeiro uma integral do cilindro completo, e depois subtrair da integral que representa o volume do cone.

V s = V c - V i

V s = π ∫ x 2   d y - ∫ t g   y   d y

Passo 3

Falando agora de limite de integração, vamos limitar até aonde nosso cilindro é projetado no eixo y, ou seja, até π 4 . Mas ora, sabemos que o valor de x = 1 , pela limitação dele no eixo x.

Logo, nossa integral vai ficar assim:

V s = V c - V i

V s = π ∫ 0 π 4 x 2   d y - π ∫ 0 π 4 t g   y   d y    

Resolvendo:

V S = π ⋅ 1 2 ⋅ y   ​ 0 π 4 - π t g   y ​ 0 π 4

V s = π π - 2 2

Resposta

V s = π π - 2 2

Exercícios de Livros Relacionados