1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais que 0 ≤ x ≤ π e sinh ⁡ x ≤ y ≤ cosh ⁡ x .
  2. Esboce no mesmo plano x y os gráficos das polares ρ 1 = sin 2 ⁡ θ e ρ 2 = cos 2 ⁡ θ , calculando a área da interseção entre elas.

Passo 1

Faaala, pessoal! É sempre interessante ter uma noção dos gráficos de funções elementares como as hiperbólicas. Dito isso, o primeiro passo para calcular volume de rotação é desenhar a área rotacionada:

Vamos trabalhar com o conceito de discos finos. O volume da rotação de tal área em torno do eixo x é:

V = π ∫ 0 π r e x t 2 - r i n t 2 d x

Onde o raio do disco são as funções hiperbólicas.

Passo 2

Assim, V = π ∫ 0 π r e x t 2 - r i n t 2 d x

= π ∫ 0 π cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x d x

Porém, a identidade fundamental:

cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1

Nos permite escrever:

V = π ∫ 0 π d x = π x 0 π = π 2

Resposta

V = π 2

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