Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Ver Teoria
Exercício 143123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG – Cálculo 1 – P6 – 2020.2

Seja A a região determinada por

A = x , y 0 < x ≤ 1,22 ln ⁡ x ≤ y ≤ - 18 x + 18 }

Seja Ω o sólido gerado pela rotação de A em torno do eixo y cujo volume é igual a V. O valor de V π vale quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Precisamos calcular o volume desse bagulhete aí, concordam? E você se lembra qual é a fórmula que a gente usa quando temos duas funções como limites?

V = π   ∫ a b f y 2 - g y 2 d y

Passo 2

Precisamos encontrar quem é nossa f ( y ) e g ( y ) . Pra isso o que você acha que devemos fazer? Bem, basicamente você precisa pegar suas funções dadas no enunciado e isolar x e escrever ele em funcao de y .

1,22 ln ⁡ x = y

y = - 18 x + 18

Reescrevendo, temos:

ln ⁡ x = y 1,22 → x = e y 1,22

x = y - 18 - 18

Passo 3

Podemos dizer que nossa f ( y ) e g ( y ) serão:

f y = e y 1,22

g y = 1 - y 18

Vamos agorar fazer nossa integração!!!

V = π   ∫ a b e y 1,22 2 - 1 - y 18 2 d y

V = π ∫ a b e 2 y 1,22 - ∫ a b d y + ∫ a b y 2 324 d y - ∫ a b y 9 d y

Note que ainda precisamos encontrar os intervalos da nossa integração.

Passo 4

Vamos resolver antes as integrais:

π e 2 b - a 1,22 - b - a + b 3 - a 3 972 - b 2 - a 2 9 = V

Para descobrir os intervalos, basta sabermos também onde temos as raízes das curvas dadas, por exemplo:

y = - 18 x 2 + 18

x 2 = 1

x = ± 1

Portanto, temos que: b = 1 e a = - 1

Podemos assim substituir esses valores na nossa equação para o volume V!!

V = π e 2 1 + 1 1,22 - 1 + 1 + 2 972 + 0 = 25 π

Logo, se fizermos:

V π = 25

É isso aí, pessoal!!!

Resposta

25

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .