Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Ver Teoria
Exercício 107123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFMG – Cálculo 1 – P6 – 2020.2

Seja A a região limitada pelas curvas 4 y = x 2 e 32 x = y 2 . Seja o sólido Ω gerado pela rotação da região A em torno da reta x = - 6 cujo volume é igual V . O valor de 15 V 4 π é quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Primeiro passo que vamos ter que fazer aqui é saber em quais pontos a nossa curva y vai ser limitada pelos valores no eixo x pra gente calcular essa área, certo?

Como a gente faz isso? Bem, a gente sabe que quando estamos olhando pros valores APENAS do eixo x, ou seja, estamos andando em cima do eixo x, temos que y = 0 . Isso já vai nos ajudar a encontrarmos os valores dos intervalos de integração da curva.

Passo 2

Igualando y = 0

40 + 18 x - x 2 = 0

Aplicando báskarah, temos:

a = - 1

b = 18

c = 40

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

x 1 = - 18 + 22 - 2 = - 2

x 2 = - 18 - 22 - 2 = 20

Logo, a nossa curva é limitada nesses dois pontos!!

Passo 3

Agora que sabemos em quais pontos nossa curva é delimitada em x , podemos calcular nossa área A:

A = ∫ - 2 20 ( x - 9 ) 40 + 18 x - x 2 d x - ∫ - 2 20 x d x

A primeira integral podemos expandir para:

x - 9 40 + 18 x - x 2 = x 40 + 18 x - x 2 - 9 40 + 18 x - x 2

Aplicando a regra da subtração de integrais, temos:

∫ - 2 20 ( x - 9 ) 40 + 18 x - x 2 = ∫ - 2 20 x 40 + 18 x - x 2 - 9 ∫ - 2 20 40 + 18 x - x 2

Chamando u = 40 + 18 x - x 2

d u = 18 - 2 x

d u - 18 2 = x

Podemos substituir:

∫ d u - 18 2 u 1 2  

Note que essa integral pode ser aplicada novamente à regra da soma/subtração de integrais!

Passo 4

Aplicando a integração, temos:

∫ - 2 20 x 40 + 18 x - x 2 - 9 ∫ - 2 20 40 + 18 x - x 2 - ∫ - 2 20 x d x

1364 - 22 = 1342

Resposta

42

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .