Seja A a região limitada pelas curvas 4y = x^2 e 32 * x = y^2 . Seja o sólido Ω gerado pela rotação da região A em torno da reta x = -6 cujo volume é igual V . O valor de 15V / 4π é quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Primeiro passo que vamos ter que fazer aqui é saber em quais pontos a nossa curva y vai ser limitada pelos valores no eixo x pra gente calcular essa área, certo?

Como a gente faz isso? Bem, a gente sabe que quando estamos olhando pros valores APENAS do eixo x, ou seja, estamos andando em cima do eixo x, temos que y = 0 . Isso já vai nos ajudar a encontrarmos os valores dos intervalos de integração da curva.

Passo 2

Igualando y = 0

40 + 18 x - x 2 = 0

Aplicando báskarah, temos:

a = - 1

b = 18

c = 40

x 1 = - b + b 2 - 4 a c 2 a

x 2 = - b - b 2 - 4 a c 2 a

x 1 = - 18 + 22 - 2 = - 2

x 2 = - 18 - 22 - 2 = 20

Logo, a nossa curva é limitada nesses dois pontos!!

Passo 3

Agora que sabemos em quais pontos nossa curva é delimitada em x , podemos calcular nossa área A:

A = ∫ - 2 20 ( x - 9 ) 40 + 18 x - x 2 d x - ∫ - 2 20 x d x

A primeira integral podemos expandir para:

x - 9 40 + 18 x - x 2 = x 40 + 18 x - x 2 - 9 40 + 18 x - x 2

Aplicando a regra da subtração de integrais, temos:

∫ - 2 20 ( x - 9 ) 40 + 18 x - x 2 = ∫ - 2 20 x 40 + 18 x - x 2 - 9 ∫ - 2 20 40 + 18 x - x 2

Chamando u = 40 + 18 x - x 2

d u = 18 - 2 x

d u - 18 2 = x

Podemos substituir:

∫ d u - 18 2 u 1 2  

Note que essa integral pode ser aplicada novamente à regra da soma/subtração de integrais!

Passo 4

Aplicando a integração, temos:

∫ - 2 20 x 40 + 18 x - x 2 - 9 ∫ - 2 20 40 + 18 x - x 2 - ∫ - 2 20 x d x

1364 - 22 = 1342

Resposta

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