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Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

UFBA, Sem Campus, Cálculo B, Listas de Cálculo B - UFBA - Lista 1, Questão 2.3f

Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

f )   y = cosh ⁡ x ; y = x 2 ; x = - 1 ; x = 1 , em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = cosh ⁡ x y = x 2 x = - 1 x = 1

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo x . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região do plano que será rotacionada.

Essa região está limitada, no eixo x , pelas retas x = - 1 e x = 1 . Elas definem os intervalos de integração.

Já a curva preta, y = cosh ⁡ x , limita a região superiormente, e a parábola verde, y = x 2 , limita a curva inferiormente.

Daí, a secção transversal pode ser expressão como:

A x = π ⋅ cosh ⁡ x 2 - x 2 2

Portanto, a integral do volume do sólido de revolução fica escrita como:

V = ∫ - 1 1 π cosh ⁡ x 2 - x 2 2 d x

Massa!

Passo 3

Vamos resolver a integral do volume.

V = ∫ - 1 1 π cosh ⁡ x 2 - x 2 2 d x

∴ V = π ⋅ ∫ - 1 1 cosh 2 ⁡ x d x - ∫ - 1 1 x 4 d x

Vamos analisar essas integrais com um pouco mais de calma, tudo bem?

Da trigonometria, temos que:

cosh 2 ⁡ x = 1 + cosh ⁡ 2 x 2

Logo:

∫ - 1 1 cosh 2 ⁡ x d x = ∫ - 1 1 1 + cosh ⁡ 2 x 2

= 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 cosh ⁡ 2 x d x

Logo:

V = π ⋅ 1 2 �� ∫ - 1 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 cosh ⁡ 2 x d x - ∫ - 1 1 x 4 d x

= π ⋅ 1 2 x - 1 1 + 1 2 ⋅ s e n h   2 x 2 - 1 1 - x 5 5 - 1 1

= π ⋅ 1 + s e n h   2 - 2 5

Portanto:

V = 3 π 5 + π ⋅ s e n h ( 2 )

Ufaaa! Parecia bem complicadinha, mas saiu 😊

Valeeeu gente!

Resposta

3 π 5 + π ⋅ s e n h ( 2 )

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
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