Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

f(y) = cosh(x); y = x^2; x = -1; x = 1, em torno do eixo x .

Passo 1

Fala aí gente, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma região no plano delimitada pelas curvas:

y = cosh ⁡ x y = x 2 x = - 1 x = 1

Precisamos determinar o volume do sólido gerado ao se rotacionar essa região em torno do eixo x . Além disso, devemos fazê-lo usando o método das seções transversais.

Como a rotação é em torno do eixo x , vamos tomar esse eixo no nosso método das seções, e aí aplicamos:

V = ∫ a b A x d x

onde A ( x ) é a área da seção transversal do sólido. Já a e b estão relacionados ao intervalo que delimita a região no R 2 .

Tranquilo?

Passo 2

Bom, vamos começar esboçando a região do plano que será rotacionada.

Essa região está limitada, no eixo x , pelas retas x = - 1 e x = 1 . Elas definem os intervalos de integração.

Já a curva preta, y = cosh ⁡ x , limita a região superiormente, e a parábola verde, y = x 2 , limita a curva inferiormente.

Daí, a secção transversal pode ser expressão como:

A x = π ⋅ cosh ⁡ x 2 - x 2 2

Portanto, a integral do volume do sólido de revolução fica escrita como:

V = ∫ - 1 1 π cosh ⁡ x 2 - x 2 2 d x

Massa!

Passo 3

Vamos resolver a integral do volume.

V = ∫ - 1 1 π cosh ⁡ x 2 - x 2 2 d x

∴ V = π ⋅ ∫ - 1 1 cosh 2 ⁡ x d x - ∫ - 1 1 x 4 d x

Vamos analisar essas integrais com um pouco mais de calma, tudo bem?

Da trigonometria, temos que:

cosh 2 ⁡ x = 1 + cosh ⁡ 2 x 2

Logo:

∫ - 1 1 cosh 2 ⁡ x d x = ∫ - 1 1 1 + cosh ⁡ 2 x 2

= 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 cosh ⁡ 2 x d x

Logo:

V = π ⋅ 1 2 �� ∫ - 1 1 d x + 1 2 ⋅ ∫ - 1 1 cosh ⁡ 2 x d x - ∫ - 1 1 x 4 d x

= π ⋅ 1 2 x - 1 1 + 1 2 ⋅ s e n h   2 x 2 - 1 1 - x 5 5 - 1 1

= π ⋅ 1 + s e n h   2 - 2 5

Portanto:

V = 3 π 5 + π ⋅ s e n h ( 2 )

Ufaaa! Parecia bem complicadinha, mas saiu 😊

Valeeeu gente!

Resposta

3 π 5 + π ⋅ s e n h ( 2 )

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